Ciekawostki liczbowe

Kto się zgodzi albo się nie zgodzi, i dlaczego?

Czy liczb naturalnych jest tyle samo co całkowitych. Zapraszam do dyskusji

 

Liczb całkowitych zawsze będzie więcej ponieważ mogą przyjmować również wartości ujemne

 

To podpowiada intuicja. Z drugiej jednak strony zarówno liczb naturalnych jak i całkowitych jest nieskończoność. Z trzeciej strony jedna nieskończoność nie musi, a nawet nie będzie się równać drugiej nieskończoności. Reasumując nie można powiedzieć czy liczb naturalnych jest tyle samo co całkowitych.

 

Liczby jedynie dążą do nieskończoności, nigdy jej nie przyjmują. A przynajmniej nieskończoność nie zalicza się do żadnego ze zbiorów liczb, choć te jak już wspomniałem do niej dążą... tak przynajmniej mnie uczyli w liceum.

 

Popatrzmy na to prościej, rozpatrzmy dwa zbiory:

N = (1,2,3,4...)
N_0 = (0,1,2,3...)

czy liczb ze zbioru N jest tyle samo co ze zbioru N_0 ?

 

Zgodnie z aksjomatami Peano zero należy do zbioru liczb naturalnych...

 

Dlatego zbiór (1,2,3,4...) oznacza się raczej jako N+. Ale z tego co mi wiadomo to przynależność zera do liczb naturalnych dalej jest kwestią dyskusyjną.

 

Dlatego trzeba podawać bazę definicyjną. Czym innym jest wskazanie nieliniowe wg normy PN-EN 1371-1 a czym innym wg EN-ISO 2377. Skoro autor nie podał żadnych definicji no to wybrałem taką, która jest sprzeczna z jego założeniami.

 

Zwykle pisze na początku książek czy przyjmuje się, że naturalne są z zerem czy nie.

A co do czy liczb naturalnych jest tyle samo co całkowitych - tak jest tyle samo.

 

Jak podałaś najpierw hipotezę a potem na nią odpowiadasz, to powinnaś podać też dowód na to...

Wprawdzie dowód na to, ze liczb rzeczywistych jest tyle samo co naturalnych, ale do całkowitych też będzie pasować.


Ale to przy założeniu tylko, że 0 nie należy do liczb naturalnych.

 

Na początek przytoczę paradoks - Hotel Hilberta:

"Hotel Hilberta ma nieskończenie wiele pokoi. Pewnego wieczora do hotelu przybywa spóźniony gość. Okazuje się, że wszystkie pokoje są już zajęte. Co robi recepcjonista? Gościa z pokoju 1 przenosi do pokoju 2, z kolei gościa z pokoju 2 przemieszcza do pokoju 3 itd., przenosi każdego gościa do pokoju o numerze o jeden większym. Teraz, gdy pokój 1 jest pusty, recepcjonista może umieścić w nim nowego gościa. I teraz zachodzi pytanie: czy recepcjonista będzie miał problem z rozlokowaniem turystów w przypaku gdyby następnego dnia przybyła nieskończona ich liczba? nie stanowi problemu: gościa z pokoju 1 umieszcza się w pokoju 2, tego z pokoju 2 przemieszcza się do pokoju 4, ogólnie każdego przesuwa się do pokoju o numerze dwa razy większym. W ten sposób tylko pokoje o numerach parzystych będą zajęte, a w pozostałych pokojach - o numerach 1, 3, 5... - będzie można umieścić wszystkich uczestników wycieczki."

Zbiory A i B są równoliczne (mają tyle samo elementów) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje pomiędzy nimi funkcja wzajemnie jednoznaczna (jest bijekcją)

Przyjmijmy, że nasze liczby naturalne są z zerem.

Obrazek



Przyporządkujemy
Parzyste N -> nieujemne Z
Nieparzyste N -> ujemne Z

PS. Liczb R jest więcej niż liczb N, R jest zbiorem nieprzeliczalnym